00023 高等数学（工本） ✒️

前情提要

先复习一下高中理科的数学知识

完全平方公式：$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

完全平方差值公式：$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$

不同角度的sin、cos、tan

角度	弧度	sin	cos	tan
30	$\frac{π}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45	$\frac{π}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60	$\frac{π}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90	$\frac{π}{2}$	1	0	不存在（$\infty$）
120	$\frac{2π}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
180	π	0	-1	0
270	$\frac{3π}{2}$	-1	0	不存在（$\infty$）
360	2π	0	1	0

一元二次方程解法：

• 配方：
• 十字相乘法
• 二次根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

集合

• 开区间闭区间

函数

• 函数四大特性
  • 有界性
  • 单调性
    • 证明在区间内单调递增，设存在$x_1,x_2(x_1<x_2)$得到$f(x_2)-f(x_1)>0$
  • 奇偶性
    • 奇函数：$f(x) = -f(x)$
    • 偶函数：$f(x) = f(-x)$
    • 两个偶函数之和、之积都为偶函数
    • 两个奇函数的和为偶函数、之积为奇函数
    • 奇函数和偶函数之积为奇函数
  • 周期性
    • 存在常量$T$，存在$f(x) = f(x+T)$，$T$为周期
• 反函数
  • $y = x + 1$的反函数为 $x = y - 1$（图像关于$y=x$对称）
• 复合函数
  • $y=\frac{1}{u-3}$，$u= \sqrt{2x-1}$，那么$y = \frac{1}{\sqrt{2x-1} -3}$ 求定义域即 $2x-1 > 0$ 和 $\sqrt{2x-1} -3 \neq 0$
• 初等函数
  • 幂函数 $y = x^n (n=-1 (1/x),1/2(\sqrt x),1,2,3)$
    • $a^0 = 1 (a \neq 0)$
    • $a^{-n} = \frac{1}{a^n}(a \neq 0, n \in N)$
    • $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} (a>=0, mn \in N , \gcd(m, n) = 1)$
  • 指数函数 $y = a^x(a > 0)$，常见的有 $y=e^x$，$y=2^x$，$y=10^x$
  • 对数函数 $y = log_a (x) (a>0, a \neq 1)$
    • 对数 $log_a N = b \iff a^b = N$（零和负数没有对数）$a^{log_a N} = N$
    • $log_a MN = log_a M + log_a N$
    • $log_a \frac{M}{N} = log_a M - log_a N$
    • $log_a M^N = N log_a M$
  • 三角函数
  • sin等于对边/斜边、cos等于邻边/斜边、tan等于对边/邻边（求角度值直接用1、2、$\sqrt{3}$加上等腰直角三角形算45度）
    • 两角和差值公式：
      • $sin(A \pm B) = sinA * cosB \pm cosA * sinB$
      • $cos(A \pm B) = cosA * cosB \mp sinA * sinB$（加号变减号）
      • $tan(A \pm B) = \frac{tanA \pm tanB}{1 - (tanA * tanB)}$
      • $sin^2 A + cos^2 A = 1$
    • 两倍角公式
      • $sin(2A) = 2sinA * cosA$
      • $cos(2A) = 1 - 2sin^2A$
      • $tan(2A) = \frac{2tanA}{1 - tan^2A}$
• 函数极限
  • $lim_{x \to \infty} f(x) = a$
  • $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ 、$lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$
  • 若$lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，则称函数f(x)当$x \to x_0$时是无穷小量，简称无穷小

数列

• 等差数列
  • 通项公式 $an = a1 + (n-1) * d$
  • 中项 $b = \frac{a + c}{2}$
• 等比数列
  • 通项公式 $a_n = a_1 * q^{n-1}$
  • 中项 $b^2 = ac$
  • 前n项和：$S_n = a_1 * \frac{1 - q^n}{1 - q}$
• 极限
  • {$a_n$}为一个数列，a为常数，当$lim_{n \to \infty} a_n = a$，a为极限，a存在则为收敛，否则为发散
  • 若数列{$a_n$}收敛，则其极限唯一。收敛必有界。单调有界数列必收敛
• 级数
  • 数列{$a_n$}将每一项都进行累加，得到 $\sum_{n=1}^{\infty} = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = Sn_{n \to \infty} (S_n = s)$ 则$\sum_{n=1}^{\infty}$收敛

平面几何

• 向量 $\vec{AB}$
  • 模 |a| = $\sqrt{a_1^2 + a_2^2}$
  • ab向量同向且等长 $a = b$
  • 0向量 长度为0方向不定
  • 相反向量 $a = -b$
  • 单位向量 长度为1，方向不定
  • 向量的加减法：三角形法则、平行四边形法则
  • 数乘向量和向量共线
  • $d(AB) = |AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
  • 向量ab的数量积 $|a||b| * cos<a,b>$
  • a⊥b，则数量积为0
  • 在平面坐标中= $x_1*x_2 + y_1*y_2$
• 直线
  • 倾斜角k、斜率$a (k = tan a)$
    • 两条直线垂直，$k_1 * k_2 = -1$
  • 直线方程
    • 点斜式：直线过点$p(x_1, y_1)$，斜率a，则$y - y_1 = k(x - x_1)$，截距$x=0$求y
    • 一般式：$Ax + By + C = 0$，斜率$a = - \frac{B}{A}$
  • 点到直线的距离：点$P(x_1, y_1)$到直线Ax + By + C = 0的距离为：$\frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
• 曲线
• 圆
  • 标准方程 $(x-a) ^2 + (y-b) ^2 = r^2$ ==> $x^2 + y^2 = r^2$
  • 换元：$x = r cos t, y = r sin t$ ==> $sin ^ 2 t + cos ^ 2 t = 1$
  • 点(x,y)到圆心(a,b)的距离：$d = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r$
  • 直线方程 Ax + By + C = 0 与圆方程 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ 圆心到直线的距离为：$\frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

空间几何

• xyz，两点距离d(P1, P2) = $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
• 点(3,2,0)到平面$3x-2y+\sqrt{3z}+7=0$的距离为：$\frac{|3*3 + 2*(-2) + 0*\sqrt{3} + 7|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + \sqrt{3}^2}} = \frac{12}{4} = 3$
  • 点(x,y)到面Ax+By+Cz+D=0的距离为：$\frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

导数

• 简述
  • 求导 f(x) = x^2 求导

    • $x \to 0 f'(x) = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{x^2 + 2x * \Delta x - x^2}{\Delta x} = 2x$

  • 求导的结果为切线的斜率
• 初等函数的导数【计算和上面一样】
  • 常值函数 $f(x) = c$，导数为0
  • 幂函数 $f(x) = x^n$，导数为$nx^{n-1}$
  • 三角函数 $f(x) = sin x$，导数为$cos x$
  • 三角函数 $f(x) = cos x$，导数为$-sin x$
  • 三角函数 $f(x) = tan x$，导数为$sec^2 x$
  • 三角函数 $f(x) = cot x$，导数为$-csc^2 x$
  • 三角函数 $f(x) = arc sin x$，导数为$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • 三角函数 $f(x) = arc cos x$，导数为$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • 三角函数 $f(x) = arc tan x$，导数为$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
  • 三角函数 $f(x) = arc cot x$，导数为$\frac{-1}{1+x^2}$
  • 指数函数 $f(x) = e^x$，导数为$e^x$
  • 对数函数 $f(x) = ln x$，导数为$\frac{1}{x}$
• 导数的四则运算
  • 加减法 $[u(x)+v(x)]' = u'(x) + v'(x)$
  • 乘法 $[u(x)v(x)]' = u(x)v'(x) + u'(x)v(x)$
  • 除法 $[u(x)/v(x)]' = [u(x)v'(x) - u'(x)v(x)] / v^2(x)$
  • 复合函数求导：例：$f(x) = sin(x^2)$

    • $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} * \frac{du}{dx}$ 【y=sin u、u=x^2】 = cosu * 2x = cos(x^2) * 2x

• 特殊函数求导
  • 幂指函数求导 $y = x^x (x>0)$
    • 两边各取ln：$ln y = x * ln x$，两边求导，ln y是一个复合函数，求导为 $\frac{1}{y} * y'$，右边为$1 * ln x + x * \frac{1}{x} = ln x + 1$。那就是 $\frac{1}{y} * y' = ln x + 1$。即 $y' = y * (ln x + 1) = x^x * (ln x + 1)$
• 高阶函数求导
  • $y = x * e^x$ , y的n阶导数为：$y = (x+n) * e^x$

导数应用

洛必达法则

• 存在两个函数f(x)和g(x)
  • $lim_{x \to x_0} f(x) = g(x) = 0$或 $\infty$
  • 在a附近两个函数皆可导
  • $lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在或者为 $\infty$
• 则$lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

函数单调性

• 对f(x)求导，若f'(x) > 0，则f(x)单调递增，若f'(x) < 0，则f(x)单调递减，若f'(x) = 0，则f(x)无单调性

例：利用求导证明不等式恒成立 ln(1+x) < x (x>0)

• 即证明 $f(x) = x - ln(1+x) > 0, f(0) = 0$
• 那么只要证明f(x)是单调递增函数既可以证明不等式恒成立
• 对f(x)求导，$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$ 其中$x>0，f'(x) > 0，f(x)$单调递增

极值

• 必要条件：如果$x_0$是函数$f(x)$的极值点，则$x_0$必为函数的驻点或不可导点，即$f'(x_0) = 0$ 或 $f'(x_0)$不存在
• 求函数的极值
  • 先求导
  • 再令$f'(x) = 0$求出驻点
  • 判断单调性
  • 求出极大值极小值
• 例题：$f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$，在区间[-1,3]的极值和最值
  • 先求导 $f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x+2)(x-2)$
  • 驻点为0，-2，2，因为取值范围在[-1,3]内，所以只需要考虑驻点为0，2的情况
  • 判断单调性，在f(0)为极大值，f(2)为极小值，则f(0) = 5，f(2) = -11
  • 端点f(-1) = -2，f(3) = 14
  • 那么最大值为14，最小值为-11

积分

不定积分

• 原函数：一个函数的原函数不唯一
• 不定积分：如果函数f(x)在区间I上有函数，那么称f(x)在I上的全体原函数组成的函数族为函数f(x)在区间I上的不定积分
  • 记为 $\int f(x)dx$
  • 如果F(x)是f(x)在区间I上的原函数，那么 $\int f(x)dx = F(x) + C$
• 不定积分换元

例：$\int 2x * \sqrt{x^2+1} dx$

• 令$u=x^2 + 1$ 那么$du = 2xdx$
• 代入原式得到 $\int u^\frac{1}{2} du$
• 求该式的不定积分（原函数）已知$x^n$ <==> $(n-1)*x^{n-1}$，那么$∫ u^\frac{1}{2} du = \frac{2}{3} * u^\frac{2}{3} + C$
• 再把$u=x^2+1$代回原式，得到 $\int 2x * \sqrt{x^2+1} dx = \frac{2}{3} * (x^2+1)^\frac{3}{2} + C$

• 分部积分$\int u dv = uv - \int v du$

例：求$\int x^2 cos x dx$的不定积分

• 先把这个代入成 $\int u dv$，那么$u=x^2，dv= cos x dx$，有了dv求v（原函数）那么 $v = sin x$
• 代入分部积分公式$\int x^2 cos x dx = x^2 sin x - 2\int x sin x dx$
• 得到新积分 $\int x sin x dx$，在进行分部积分，这个时候$u = x, dv = sin x dx$，那么 v（原函数） = -cos x
• 再代入分部积分公式 $\int x sin x dx = - x cos x - \int - cos x dx = - x cos x + sin x + C$
• 再代回第二步 $\int x^2 cos x dx = x^2 sin x - 2\int x sin x dx = x^2 sin x - 2(- x cos x + sin x + C)$
• 化简得 $\int x^2 cos x dx$ = $x^2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C$

定积分

• 函数f(x)在区间I上有界，在区间插入n-1个点，分为n块，那么积分结果为：$\int_a^b f(x)dx = I = lim_{n \to \infty} \sum_ {i=1}^{n} f(ei) \Delta x$
• f(x)的值表示的是和x轴上半部分减去x轴下半部分面积的差值
• 计算：直接用意义计算（求面积）

微积分

• 牛顿-莱布尼茨公式：设f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在区间[a,b]上的原函数，那么 $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) |b-a$
• $\int_0^1 x^2 dx = \int_0^1 x^2 dx = x^3 / 3 |\int_0^1 = 1/3$

例：换元法 $\int_0^8 \frac{1}{1 + \sqrt[3]{x}} dx$

• 令 $u=\sqrt[3]{x}$，那么 $x = u^3$，$dx = 3u^2 du$
• 原式代入 $= \frac{1}{1 + u} * 3u^2 du = \frac{3u^2}{1 + u} du$，并且这个时候$\int_0^8$就变成了$\int_0^2$
• 格式化：$\frac{3u^2}{1 + u} = \frac{3u^2 - 3 + 3}{1 + u} = \frac{3(u+1)(u-1) + 3}{1+u} = 3u - 3 + \frac{3}{1+u}$
• 求原函数（要把乘法或者除法换成加减法） $\frac{3u - 3 + 3}{1+u}$
• $\frac{2}{3}*u^2 - 3x + 3ln(1+u)$，用u=2减u=0，结果就是$\frac{2}{3} * 2^2 - 3*2 + 3ln(1+2) = 6 - 6 + 3ln(3) = 3ln(3)$

• 分部积分
• 如果f(x)在区间[-a,a]上连续
  • 如果f(x)是奇函数，那么$\int_{-a}^a f(x)dx = 0$
  • 如果f(x)是偶函数，那么$\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$

反常积分

• $lim_{b \to infty} \int_{a}^b f(x)dx = \int_a^{\infty} f(x)dx = I$

定积分的几何应用

• 微元法

行列式

二阶行列式的计算方法

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

三阶行列式的计算方法

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)$

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