00023 高等数学（工本） ✒️

三维空间

空间直角坐标系

建立直角坐标系（右手法则）

点在空间的关系

分类	结果
关于原点对称	xyz都变成相反数
关于平面对称	如关于OXY对称，即z取相反数，xy不变
关于轴对称	如关于x对称，yz取相反数，x不变
关于某一个点对称	该点为中点，(x1+x2)=x，yz同理

空间中两点的距离公式

$d = \sqrt{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2}$ 也就是三角形的斜边（勾股定理）

• 实际运用
  • 空间中两点距离
  • 证明三个点围成的三角形是等腰三角形

向量代数

• 既有大小又有方向的量
• |a| 向量的模（大小）
• 向量相等（方向相同、模相同）
• 0向量：模为0、任意方向
• 相反向量：方向取反
• 平行或共线向量：方向相同
• 单位向量：模为1，单位化：向量/向量的模
• 位置向量：从原点开始到P点 $P=(x,y,z)$，那么$|P| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
• 数量积：$a·b = |a||b|cos θ$【投影】
  • $a(x,y,z)$和$b(x1,y1,z1)$的数量积：$a·b = x*x_1 + y*y_1 + z*z_1$
  • $a \perp b \Rightarrow a·b = x*x_1 + y*y_1 + z*z_1 = 0$
  • $a \parallel b \Rightarrow \frac{x}{x_1} = \frac{y}{y_1} = \frac{z}{z_1}$

例：已知向量A(1,1,1)，向量B(2,2,1)，向量C(2,1,2)。求直线AB和AC的夹角

分析：用向量的数量积来计算 $\Rightarrow$ 向量A·向量B = $|A||B| cos θ$

• $AB = B-A = (2,2,1)-(1,1,1) = (1,1,0)$ 同时计算模 = $\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
• $AC = C-A = (2,1,2)-(1,1,1) = (1,0,1)$ 同时计算模 = $\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
• 代入公式 $cos θ = |\frac{AB·AC}{|AB||AC|}| = \frac{1*1+1+0+0*1}{\sqrt{2}*\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$，角度为 60°

空间曲面、曲线

曲面方程

• 如果点P到空间的AB两个点的距离相等，那么点P的轨迹就是AB两点的垂直平分面，即$|PA|=|PB|$

旋转曲面

• 曲线$F(y,z)=0$
  • 绕着z轴旋转 $\Rightarrow f(\pm \sqrt{x^2 + y^2}, z) = 0$
  • 绕着y轴旋转 $\Rightarrow f(y, \pm \sqrt{x^2 + y^2}) = 0$

空间平面、直线

平面方程

• 点法式
  • 定点$P_0(x_0,y_0,z_0)$与非零法向量n(A,B,C)
  • 满足方程 $A(x-x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
• 一般式（由点法式展开）
  • $Ax+By+Cz+D=0$
  • $D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0$

两个平面的夹角

• 两个平面的一般方程分别为$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0, A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$
• 那么他们的法向量n1和n2：$n1 = (A_1,B_1,C_1)$，$n2 = (A_2,B_2,C_2)$
• 两个平面的法向量n1和n2，夹角为$cos θ = \frac{|n1·n2|}{|n1||n2|}$ 取值范围在0-90度之间
  • 两个平面（法向量）垂直：$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
  • 两个平面（法向量）平行：$A_1/A_2 = B_1/B_2 = C_1/C_2$

例题：已知一平面过P(1,1,1)和Q(0,1,-1)，并且垂直于$x+y+z=0$，求该平面方程。

• 平面垂直即法向量垂直，设目标方程为$Ax+By+Cz+D=0$，目标方程的法向量为(A,B,C)，已知方程法向量为(1,1,1)
• 因为垂直则$cos θ=0$，用夹角公式，只要保证分子=0即可，那就是$n1·n2=A+B+C=0$
• 把PQ两点代入目标方程可以得到：$A+B+C+D=0$和$B-C+D=0$
• 解方程可以得到关系【$B=C, D=0, A=-2B$】
• 那么最终这个方程就是：$2x-y-z=0$

点到面的距离公式

• 已知点为$P(x_0,y_0,z_0)$，面方程为$Ax+By+Cz+D=0$，距离为：$\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

直线方程

• 对称式方程
  • 已知点$P(x_0,y_0,z_0)$及向量n(a,b,c)，过点$P_0$且与向量平行的直线方程
    • 设Q(x,y,z)为直线的点，PQ向量=$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$
    • 直线方程为：$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$
• 参数式方程
  • 令对称式方程 $= t (-\infty < t < \infty)$
  • 直线方程为：$x = x_0 + ta, y = y_0 + tb, z = z_0 + tc$
• 一般方程
  • 空间里两个平面的交线（联立两个平面方程就是直线方程）

直线和平面夹角

• 直线L的方向向量$v={l,m,n}$，平面法向量$n={A,B,C}$
  • 夹角 $sin θ = \frac{v·n}{|v||n|}$

二次曲面

• 椭球面
  • $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1(a>0, b>0, c>0)$
• 椭圆抛物面
  • $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}(a>0,b>0)$
• 椭圆锥面
  • $z^2 =\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}(a>0,b>0)$

多元函数的微分学

多元函数

多元函数的复合函数

例：$f(x+y,x-y) = x^2 + y^2$，求$f(x,y)$

• $f(x+y,x-y) = x^2 + y^2$ ==> $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$
• $f(x,y) = xy$

多元函数的极限

$lim_{x \to x_0, y \to y_0} f(x,y) = A$ 【A是函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的二重极限】

例：求$lim_{x \to 0,y \to 2} \frac{sin xy}{x}$

• $x \to 0$, $y \to 2$ 则 $xy \to 0$，在三角函数 $lim_{z->0} \frac{sin z}{z} = 1$
• 那么转换一个目标，乘以一个$y = y * (\frac{sin xy}{xy}) = 2 * 1 = 2$

• 二重极限存在的充分必要条件：点$(x,y)$以任何方式趋近于点$(x_0,y_0)$，函数$f(x,y)$的极限都存在且相等

例：证明$lim_{x \to 0,y \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2}$不存在

• 令$y = kx$，则 $x * \frac{kx}{x^2 + (kx)^2}$ 化简一下$\frac{k}{k^2 + 1}$
• 因为k的变换会导致极限变化，所以极限不存在

偏导和全积分

偏导数

定义：$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个领域内有定义，固定$y=y_0$，对一元函数$F(x) = f(x,y_0)$的自变量$x_0$处给出的增量$\Delta x$，

• $\Delta F = F(x_0 + \Delta x) - F(x_0) = f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)$
• 如果极限 $lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta F}{\Delta x} = lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x,y_0) - f( x_0,y_0)}{\Delta x}$存在
• 则称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的偏导数

例：求函数 $z = x^2 - 3xy + y^3$ 在点 (2,3) 的偏导数

利用定义求解：

• 固定y：$lim_{\Delta x \to 0} \frac{z(2+\Delta x,3) - z(2,3)}{\Delta x} = \frac{(2+\Delta x)^2 - 9(2+\Delta x) + 27 - (4-18+27)}{\Delta x} = \Delta x - 5 = -5$
• 固定x，则：$lim_{\Delta y \to 0} \frac{z(2,3+\Delta y) - z(2,3)}{\Delta y} = \Delta y + 21 = 21$

对函数z求导：

• 将y作为常数，对z求导，$= 2x - 3y$，代入(2,3)得-5
• 将x作为常数，对z求导，$= -3x + 3*y^2$，代入(2,3)得21

例：求函数$u=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$的偏导数

• $u = (x^2 + y^2 + z^2) ^ {\frac{1}{2}}$，求导得到：$\frac{1}{2} * (x^2 + y^2 + z^2) ^ {-\frac{1}{2}}$
• 对x求偏导数，那么yz为常数，$(x^2 + y^2 + z^2)$，求导就是2x，对yz同理为2y和2z
• 对x求偏导数，那么 $\frac{1}{2} * (x^2 + y^2 + z^2) ^ {-\frac{1}{2}} * 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$
• 对y求偏导数，那么 $\frac{1}{2} * (x^2 + y^2 + z^2) ^ {-\frac{1}{2}} * 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$
• 对z求偏导数，那么 $\frac{1}{2} * (x^2 + y^2 + z^2) ^ {-\frac{1}{2}} * 2z = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$

高阶偏导数

• 如：求二阶偏导数，就相当于先对xy分别求一次导，再对结果再分别求一次，那就有4个结果

例：$z = ln (x^2 + y^2)$，证明函数满足等式：$\frac{∂^2 z}{∂x^2} + \frac{∂^2 z}{∂y^2} = 0$

• 首先这里表示对xy分别求两次偏导数
• 第一次求导为 $\frac{1}{x^2 + y^2}$其中$x^2$导数为2x，第一次偏导也就是$\frac{2x}{x^2 + y^2}$，同理对y求偏导为$\frac{2y}{x^2 + y^2}$
• 注：分数求导 $\frac{u(x)v'(x) - u'(x)v(x)}{v^2(x)}$
• 第二次再对x求偏导为：$\frac{2(x^2 + y^2) - 2x * 2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2}$
• 第二次再对y求偏导为：$\frac{2(x^2 + y^2) - 2y * 2y}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2}$。相加为0

全微分

全微分 $= \frac{∂z}{∂x} dx + \frac{∂z}{∂y} dy$（如果只有两个参数时，全微分等于x和y的偏导数的和）

例：求$z = e^{\frac{x}{y}}$的全微分

• 公式如上，那么先求 ∂z/∂x 的值，那么就是 $e^{\frac{x}{y}} * \frac{1}{y}$
• 补充：$\frac{1}{y}$是从$\frac{x}{y}$中求导（y为常数，就令y=2）就相对于求$\frac{x}{2}$的导数为$\frac{1}{2}$，就可以转换成$\frac{1}{y}$
• 同理求$\frac{∂z}{∂y} = e^{\frac{x}{y}} * (\frac{-x}{y^2})$
• $dz = e^{\frac{x}{y}} * (\frac{1}{y}) dx + e^{x/y} * \frac{-x}{y^2} dy$

复合函数的偏导

单个复合函数

例：$z=uv$，$u=sin x$，$v=cos x$，求$\frac{dz}{dx}$

• $\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{du} * v + \frac{dz}{dv} * u$
• $cos x * cos x + sin x * (-sin x) = cos ^2 x - sin ^2 x = cos 2x$

多个复合函数

例：$z=u^2 ln v$ ,$v=x+y$，$u=x-y$，求$\frac{∂z}{∂x}$和$\frac{∂z}{∂y}$

• 先对x求偏导：$\frac{∂z}{∂x} = \frac{∂z}{∂u} * \frac{∂u}{∂x} + \frac{∂z}{∂v} * \frac{∂v}{∂x} = (2u ln v) * 1 + u^2 * \frac{1}{v} * 1 = 2(x+y)ln(x-y) + \frac{(x-y)^2}{x-y}$
• 同理对y求偏导：$2(x+y)ln(x-y) - \frac{(x+y)^2}{x-y}$

总结：【链式法则】目标函数的偏导数等于目标函数的参数函数的偏导数乘以参数函数的参数的偏导数之和【一元为求导d，多元为求偏导∂】

隐函数的偏导

例：方程 $x^2 + y^2 = z^2$，求$\frac{dy}{dx}$

• $f(x,y) = x^2 + y^2 - z^2 = 0$
• $\frac{dy}{dx} = \frac{-f'x}{f'y} = \frac{-2x}{2y} = - \frac{x}{y}$
• 同理：方程 $e^{-xy} - 2z + e^z = 0$，求$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$
• $F(x,y,z) = e^{-xy} - 2z + e^z$
• 那么 $\frac{∂z}{∂x} = - \frac{F'_x}{F'_z}$，$\frac{∂z}{∂y} = - \frac{F'_y}{F'_z}$
• 计算$F'_x$，先求偏导为$e^{-xy}$，这是一个复合函数，拆分之后求得为$e^{-xy}*y$
• $F'_y = e^{-xy}*x$、$F'_z = e^z-2$。得到这三个值代入原式即可。

例：方程 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{8} + \frac{z^2}{16} = 1$，求dz

• 代入公式：$dz = \frac{∂z}{∂x}dx + \frac{∂z}{∂y}dy$
• 分别求导：$dz =\frac{-4x}{z}dx + \frac{-2y}{z}dy$

偏导数应用

多元函数的极值和最值

• 极值的必要条件：如果函数在p点的两个偏导数都存在且可以取到极值，则fx、fy偏导数为0
• 极值的充分条件：$z=f(x,y)$在点P有两次连续偏导数

无条件使用充分条件

例：$z = x^2 - xy + y^2 - 2x + y$，求z的极值点

• 对x,y分别求偏导，$f_x = 2x - y -2$ ，$f_y = -x + 2y +1$。联立方程得解：x=1，y=0
• 计算ABC$\Delta$。$A = f_xx = 2$，$B = f_xy = -1$，$C = f_yy = 2$，$\Delta = B^2-AC = -3$
• $\Delta <0$有极值，A>0有极大值，极大值为-1

实际运用

例：已知一个无盖长方体容器体积为$32m^3$，求长宽高的极值

• 可以得到几个条件，其中xyz=32,求xy+2xz+2yz的极值，把z换成$\frac{32}{xy}$，再换到目标函数中即为：$xy+\frac{64}{x}+\frac{64}{y}$
• 一样的步骤，先分别求导，得到$f_x = y-\frac{64}{x^2}$，$f_y = x-\frac{64}{y^2}$
• 联立求解，$x=y=4,z=2$

有条件-拉格朗日乘积法

• 已知函数$f(x,y)$与函数$φ(x,y)$
• 得到$L(x,y) = f(x,y) + λφ(x,y)$
• 得到方程组：
  • $\frac{∂L}{∂x} = f_x(x, y) + λφ_x(x, y) = 0$
  • $\frac{∂L}{∂y} = f_y(x, y) + λφ_y(x, y) = 0$
  • $φ(x,y) = 0$
• 三个方程联立求解，得到x，y（即为极值点）

例：已知$f(x,y) = x^2 + y^2$，$φ(x,y) = x+y=2$。求极值点

• 可以得到方程组：$f_x=2x - λ = 0$、$f_y=2y - λ = 0$、$x+y=2$
• 三个方程三个参数求解：$x=y=1$，则极值点为(1,1)

偏导数的几何运用

空间曲线的切线和法平面

• 切线方程：$\frac{x-x_0}{x'(t_0)} = \frac{y-y_0}{y'(t_0)} = \frac{z-z_0}{z'(t_0)}$
• 法平面方程：$x'(t_0)(x-x_0) + y'(t_0)(y-y_0) + z'(t_0)(z-z_0) = 0$

例：求螺旋线$x=2cos θ$，$y=2sin θ$，$z=θ$，在点$P(2,0,2π)$的切线方程和法平面方程

• 先把P代入方程中，可以得到$θ=2π$
• 先计算$x'(θ) = -2sin θ$，$y'(θ) = 2cos θ$，$z'(θ) = 1$，把$θ=2π$代入得到(0,2,1)
• 切线方程：$\frac{x-2}{0} = \frac{y}{2} = \frac{z-2π}{1}$
• 法平面方程：$0(x-2) + 2(y-0) + 1(z-2π) = 0$

空间曲面的切平面和法线

• 法线方程：$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)} = \frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)} = \frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$
• 切平面方程：$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0) = 0$

例：求椭球面 $2x^2 + y^2 + z^2 = 15$，在点$P(1,2,3)$的法线方程和切平面方程

• $F_x = 4x$，$F_y = 2y$，$F_z = 2z$，代入P点方向向量为(4,4,6)
• 法线方程：$\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{6}$
• 切平面方程：$4(x-1) + 4(y-2) + 6(z-3) = 0$

几何应用

例：函数$z=x^2*y$，l是从(1,1)出发与x轴、y轴正向的夹角$α=\frac{π}{6}$，$β=\frac{π}{3}$的射线，求方向导数$\frac{∂z}{∂l}$

• $\frac{∂z}{∂l} = \frac{∂z}{∂x} cos α + \frac{∂z}{∂y} cos β$
• 化简$2x cos α + cos β = 2* cos \frac{π}{6} + cos \frac{π}{3} = 2*\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

梯度

例：求函数 $z = ln(x^2+y^2)$的梯度

• 也就是对xy分别求偏导构成的一个二维向量，即$(\frac{∂z}{∂x},\frac{∂z}{∂y}) = (\frac{2x}{x^2+y^2},\frac{2y}{x^2+y^2})$

重积分

二重积分

概念和性质

• 曲顶柱体体积计算（先对x积分，再对y积分）

性质：

• $\iint k f(x,y) dδ= k\iint f(x,y)$
• $\iint [f(x,y) \pm g(x,y)] dδ= \iint f(x,y) dδ \pm \iint g(x,y) dδ$
• 如果函数关于y轴对称（奇偶性）
  • 并且如果被积函数是关于x的奇函数（$f(x,y) = -f(-x,y)$）,则积分为0
  • 如果是偶函数则积分为2倍单侧积分

计算

• 对x、y型区域建立二重积分
• 变换积分次序
• 解一元函数定积分

例：计算$I = \iint_D xy dx dy$，其中D：$y=x^2$、$y=x$围成的区域

• X型二重积分：$\int_{x=0}^1 \int_{y=x^2}^x xy dy dx$
• Y型二重积分：$\int_{y=0}^1 \int_{x=y}^{\sqrt{y}} xy dx dy$

极坐标

对于平面上点(x,y)，他到原点的距离$r=\sqrt{x^2+y^2}$，该点到原点的连线与x轴正方向夹角为θ，于是r， θ与点的坐标x、y的关系为：

$$x = r cos θ$$

$$y = r sin θ$$

极坐标下的二重积分：

$$\iint_D f(x,y)dx dy = \iint_D f(r cos θ,r sin θ)r dr dθ$$

例：计算$I = \iint_D arc tan \frac{y}{x} dx dy$，其中$D=x^2+y^2=1$、$x^2+y^2=4$、$y=x$围成的区域

• $0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$、$1 \leq r \leq 2$，那么$arc tan \frac{y}{x} = arc tan*\frac{r sin θ}{r cos θ}=arc tan*tan θ = θ$
• 对应的二重积分可以表示为：$\int_{0}^\frac{π}{4}dθ \int_1^2 θ r dr dθ$ = $\int_{0}^\frac{π}{4} θ dθ \int_1^2 r dr dθ$
• 计算$\int_{1}^{2} r\,dr = \left[ \frac{1}{2} r^2 \right]_1^2 = \frac{1}{2}(4 - 1) = \frac{3}{2}$，此时$I = \int_ {0}^{\frac{π}{4}} θ * \frac{3}{2} \, dθ = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} θ \, dθ$，
• 再对θ积分：$\int_{0}^{\frac{π}{4}} θ \, dθ = \left[ \frac{1}{2} θ^2 \right]_0^{\frac{π}{4}} = \frac{1}{2} * \left( \frac{π}{4} \right)^2 = \frac{1}{2} * \frac{π^2}{16} = \frac{π^2}{32}$
• 那么积分结果为：$\frac{3}{2} * \frac{π^2}{32} = \frac{3π^2}{64}$

例：计算$I = \iint_D cos(x^2+y^2)dx dy$，其中$D=x^2+y^2<=R^2$，求围成的区域

• 得到的二重积分：$\int_0^2π dθ \int_0^R cos r^2 r dr$

三重积分

例：计算三重积分$I = \iiint_Ω x dx dy dz$，其中$\Omega$是由三个坐标面及平面π：$x+2y+z=1$、围成

• 先算平面和xyz轴的交点：$(1,0,0)$、$(1,\frac{1}{2},0)$、$(0,0,1)$，得到的是一个三棱锥
• 那么三重积分可以表示为：$\int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{\frac{1-x}{2}} \int_{z=0}^{1-x-2y} x dx dy dz$
• 先对z积分，$\int_{z=0}^{1-x-2y} x dz$，原函数为xz，积分为$x(1-x-2y)$，x可以提到前面
• 再对y积分，$\int_{y=0}^{\frac{1-x}{2}} (1 - x - 2y) dy$，原函数为$y - xy - y^2$，积分为$\frac{(1-x)^2}{4}$
• 最后对x积分，因为前面提了一个x，$\int_{x=0}^1 x * \frac{(1-x)^2}{4} dx = \frac{1}{4}\int_{x=0}^1 x-2x^2+x^3 dx$，
• 原函数为$\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{4} x^4$，代入1，得到$\frac{1}{12}$，最终结果为$\frac{1}{4} * \frac{1}{12} = \frac{1}{48}$

奇偶性

• 积分区域Ω关于Oxy平面对称
  • 若被积函数$f(x,y,z)$是关于z的奇函数，对于任意的x,y都有$f(x,y,-z) = -f(x,y,-z)$，则积分为0
  • 偶函数为单侧的两倍

极坐标转换

$$\iiint_Ω f(x,y,z) dx dy dz = \iiint_Ω f(r cos θ,r sin θ,z) r dr dθ dz$$

曲线、曲面积分

弧长的曲线积分

f(x,y)为被积函数、L为积分弧段

$$\int_L f(x,y) ds$$

计算公式

• 曲线弧长的任意一点x、y满足方程$x=ψ(t)$、$y=φ(t)$，$α$、$β$是取值范围
• 其中$φ(t)$具有连续的一阶导数，且$(ψ'_t)^2 + (φ'_t)^2 \neq 0$
• $\int_L f(x,y) ds = \int_α^β f[ψ(t),φ(t)] \sqrt{(ψ'_t)^2 + (φ'_t)^2} dt$

例：计算弧长积分$I = \int_L \sqrt{y} ds$，其中L为$y=x^2$的曲线，L从(0,0)到(1,1)之间的一段弧

• 先分xy方程，$x=x$、$y=x^2$，求导得到$y' = 2x$，$x' = 1$，
• 那么$I = \int_L \sqrt{y} ds = \int_0^1 x * \sqrt{1 + 4x^2}dx$
• 利用换元法计算，令$u=1+4x^2$，那么原本的取值范围在0-1，代入这个方程，取值范围就是关于u的1到5了。
• 对u求导，$du=8xdx$，也就是$xdx=\frac{du}{8}$，那么原式$\int_0^1 x * \sqrt{1 + 4x^2}dx = \frac{1}{8} \int_1^5 \sqrt{u} du$
• 求原函数$\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}$，$\frac{2}{3}$挪出去和$\frac{1}{8}$一起，最终结果就是$\frac{(5\sqrt{5}-1)}{12}$

例：计算弧长积分$I = \int_L y^2 ds$，其中L为半径为R，中心角为2α的曲线

• $x=R cos θ$、$y=R sin θ$，弧度范围为$(-α,α)$
• 那么弧长公式为：$\int_{-α}^α y^2 \sqrt{x'^2 + y'^2} dθ = R^3 \int_{-α}^α sin^2 θ dθ$，其中$sin^2 θ = \frac{1-cos 2θ}{2}$
• 就会得到$\frac{R^3}{2} \int_{-α}^α (1-cos 2θ) dθ = \frac{R^3}{2} [\int_{-α}^α 1 dθ + \int_{-α}^α cos 2θ dθ]$
• $R^3(α-\frac{sin 2α}{2})$

坐标的曲线积分

计算公式

• $\int_{AB} P(x, y) \, dx Q(x, y) \, dy$
• 其中$x=ψ(t)$、$y=φ(t)$,$dx=ψ'(t)dt$、$dy=φ'(t)dt$，那么可以得到

$$\int L_{AB} P(x,y) dx Q(x,y) dy = \int_α^β {P[ψ(t) + φ(t)] * ψ'(t) + Q[ψ(t) + φ(t)] * φ'(t)} dt$$

例：坐标的曲线积分$I=\int_L (x+y)dx+(x-y)dy$，其中L为弧长$x^2+y^2=1$在第一象限的一段弧（逆时针）

• 利用极坐标表示xy，可以得到$x=cos θ$、$y=sin θ$、$dx = -sin θ$、$dy=cos θ$
• 并且θ取值在$(0,\frac{\pi}{2})$，那么积分可以表示为$\int_0^\frac{\pi}{2} (cos θ + sin θ)(-sin θ) dθ + (cos θ - sin θ)( cos θ)dθ$
• 化简$\int_0^\frac{\pi}{2} cos 2θ - sin 2θ dθ = [\frac{sin 2θ}{2}+ \frac{cos 2θ}{2}]_0^{\frac{π}{2}}=-1$

格林公式

设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数$P(x,y)$、$Q(x,y)$在D上具有连续的一阶偏导数，其中L是D的取正向的边界曲线,则：

$$\iint_D(\frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y})dx dy = \oint_L Pdx+Qdy$$

例：计算曲线积分$I = \oint_L (x^3-x^2y) dx +(xy^2+y^3)dy$，其中L为圆周$x^2+y^2=a^2$，取逆时针方向

• 分解得到PQ：$P=x^3-x^2y$、$Q=xy^2+y^3$，那么$\frac{∂Q}{∂x}=y^2$，$\frac{∂P}{∂y}=-x^2$
• 原式化简$I = \iint_L (x^2+y^2) dx dy$
• 用极坐标计算$x=R cos θ$、$y= R sin θ$，那么$\int_{0}^{2π} dθ \int_0^a r^2 r dr = \frac{π}{2}a^4$
• L为点$O(0,0)$，$A(1,0)$，$B(0,1)$为顶点的三角形边界，取逆。
• 利用格林公式化简是一样的，这里xy具有互换性，那么也就是$I = 2\iint_L x^2 dx$
• $2\int_{x=0}^1 x^2 dx \int_{y=0}^{1-x}dy = 2[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4]_0^1 = \frac{1}{6}$

例：计算曲线积分$I = \oint_L \frac{xdy - ydx}{x^2+y^2}$，其中L为圆周$x^2+y^2=R^2$，取逆时针方向

• 计算之前先化简$\frac{1}{R^2} \oint_L -ydx + xdy$
• 用格林公式再化简$\frac{2}{R^2} \iint_L dx dy = \frac{2}{R^2} * 2πR^2 = 2π$

平面曲线积分与路径无关的条件

设$P(x,y)$，$Q(x,y)$是定义在平面区域D【单连通区域】 内的连续函数，如果对于区域D的任意两个点AB，以及D内从点A到点B的任意两条曲线$L_1$、$L_2$，总有

$$\int_{L_1} Pdx + Qdy = \int_{L_2} Pdx + Qdy$$

则曲线积分$\int_L Pdx + Qdy$在D内与路径无关，其充要条件为$\frac{∂Q}{∂x} = \frac{∂P}{∂y}$

面积的曲面积分

计算公式

• 用$xy$表示$z$，替换掉$z$
• $z=f(x,y)$分别对$x$、$y$求导
• 代入公式

$$\iint f(x,y,z)dS = \iint_{D_XY} f[x,y,z(x,y)] \sqrt{1 + z'^2_x + z'^2_y} dS$$

例：计算曲面积分$\iint_{\sum} (2x+2y+4z+3)ds$，其中$\sum$是平面$x+y+2z-1=0$在第一象限中的部分

• 用xy表示z，替换掉z，得到$z=\frac{1-x-y}{2}$，同时计算$z'^2_x = \frac{1}{-2}$、$z'^2_y = \frac{1}{-2}$
• 代入公式可以得到
• $5\iint_{D_{XY}}\sqrt{1+\frac{1}{2}^2+\frac{1}{2}^2} dx dy =\frac{5\sqrt{6}}{2} \iint_{D_{XY}}dx dy$
• $=\frac{5\sqrt{6}}{4}$

常微分方程

一阶微分方程

可分离变量的微分方程

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \rightarrow \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx \rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$$

例：求$\frac{dy}{dx} = 3x^2y$的通解

• 第一步先变换位置：$\frac{1}{y} dy = 3x^2 dx$
• 两边同时积分：$\int \frac{1}{y} dy = \int 3x^2 dx \rightarrow ln|y| = x^3 + C \rightarrow y = C_1e^{x^3} C_1 = e^C$

一阶线性微分方程

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \rightarrow y = [\int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C] e^{\int -P(x) dx}$$

例：求$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = x^2$的通解

• $P(x)=-\frac{1}{x}$、$Q(x) = x^2$，那么积分因子$e^{\int P(x) dx} = \frac{1}{x}$
• $x[\int x^2 \frac{1}{x} dx + C] = \frac{x^3}{2}+Cx$

可降阶二阶微分方程

两次积分

例：求$y'' = e^{3x} - sin x$的通解

• 求原函数1：$y' = \frac{1}{3} e^{3x} + cos x + C_1$
• 再求一次：$y = \frac{1}{9} e^{3x} + sin x + C_1x + C_2$

二阶线性解的结构

一般形式：$y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)$

其次微分方程解

若$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ 那么 $y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$

例：证明：$y=C_1sin x+C_2 cos x$为二阶线性其次微分方程$y'' + y = 0$的通解

• 1、$sin x$和$cos x$是二阶线性方程的通解
• 因为$sin x$求导为$cos x$，再求导为$-sin x$，所以$y'' + y = 0$，同理cos x也是一样
• 2、$sin x$和$cos x$线性无关
• $\frac{sin x}{cos x} = tan x \neq \lambda$，所以它们线性无关

非其次微分方程解

解为：其次微分方程的通解+非其次微分方程的特解

例：证明：$y=C_1sin x+C_2 cos x+ x^2 -2$为二阶线性微分方程$y'' + y = x^2$的通解

• 前面$sin x$和$cos x$是二阶线性方程的通解，和上一个例题第一步一样
• 证明$x^2 -2$为特解，那么$y=x^2-2 \Rightarrow y'=2x \Rightarrow y''=2$，
• 那么$y'' + y = 2 + x^2 - 2= x^2$，这是非其次方程的特解

二阶常系数线性微分方程

$y' + ky = 0$，其通解为：$y = Ce^{-kx}$，设方程$y'' + py' + qy=0$的一个解为$y=e^{rx}$，代入可以得到：$r^2+pr+q=0$（特征方程）

特征方程的两个根	微分方程的通解
有两个不同的根$r_1$、$r_2$	$y=C_1e^{r_1 x} + C_2e^{r_2 x}$
一个二重根$r_1=r_2=r$	$y=(C_1+C_2 x)e^{rx}$
一对共轭复数根$r_{1,2} = a \pm i\beta (\beta \neq 0)$	$y=e^{\alpha x}(C_1 cos \beta x + C_2 sin \beta x)$

例：求$y'' - 5y' + 6y = 0$的通解

• 代入特征方程得：$r^2 - 5r + 6 = 0$，根为$r_1 = 2$、$r_2 = 3$
• 那么通解为：$y=C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$

例：求$y'' + 4y' + 4y = 0$的通解

• 代入特征方程得：$r^2 + 4r + 4 = 0$，根为$r_1=r_2=-2$
• 那么通解为：$y=(C_1+C_2 x)e^{-2x}$

例：求$y'' - 6y' + 25y = 0$的通解

• 代入特征方程得：$r^2 - 6r + 25 = 0$，转换：$(r-3)^2=-16 \Rightarrow r-3=\pm 4i \Rightarrow r = 3 \pm 4i$、对应可以得到$\alpha = 3$、$\beta = 4$
• 那么通解为：$y=e^{3x}(C_1 cos 4x + C_2 sin 4x)$

无穷级数

等比级数：$|q|\geq1$发散；$|q|<1$收敛

例：求$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4} + ...$的敛散法

• 转换$\frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4} + ... = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1- \frac{1}{n+1}$
• $lim_{n \to \infty} 1- \frac{1}{n+1} = 1-0 = 1$，所以该级数收斂

数项级数的基本性质

1. 设C是任意非零常数，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}Cu_n$的敛散性相同，且两者同时收敛时$\sum_ {n=1}^{\infty}Cu_n = C\sum_{n=1}^{\infty}u_n$
2. 如果级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$分别收敛与$s$，$\delta$，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty} (u_n \pm v_n)$也收敛，且和为$s \pm \delta$
3. 在级数当中去掉、增加或改变有限项，其敛散性不变
4. 如果级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，则对这级数的项任意加括号所得的新级数也收敛，且其和不变
5. 若级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛、必有当$n \to \infty$时，它的一般项$u_n \to 0$【级数收敛的必要条件】

例：证明$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$发散【根据积分判别法】

• 若 $\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx$ 收敛/发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 收敛/发散
• $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to \infty} \ln b - \ln 1 = \infty$。积分发散，原级数也发散

数顶级数的审敛法

对于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 如果$p>1$则收敛，$0<p \leq 1$发散

正项级数及其审敛法

1. 正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛的充分必要条件是它的部分和数列{$s_n$}有上界
2. 设$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$都是正项级数，且$u_n \leq v_n$，对任意的n都成立
   • 若级数$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$收敛，这级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛
   • 若级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$发散，这级数$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$发散
3. 设$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$都是正项级数，如果$lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l (0<l< \infty)$，那么$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$同时收敛或同时发散
4. 正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$的后项比前项之比的极限等于$\rho$，即$lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$
5. 正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$的一般项$u_n$的n次方根的极限等于$\rho$，即$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$
   • $\rho<1$时收敛、$\rho>1$时发散、$\rho=1$不能判断【4、5的$\rho$判断是一样的】

交错级数及其审敛法

如果交错级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$满足

• 数列{$u_n$}单调递减，即对一切自然数n都有$u_n \geq u_{n+1}$
• $lim_{n \to \infty} u_n = 0$

则级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$收敛，且和小于$u_1$

例：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$的敛散性

• $\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$，所以是单调递减
• $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$，故该级数收敛

绝对收敛 & 条件收敛

• 如果级数$\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$收敛，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$绝对收敛
• 如果级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，而级数$\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$，则称级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$条件收敛

幂级数

一般形式

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n = a_0+a_1(x-x_0)+...+a_n(x-x_0)^n + ...$

令$t=x-x_0$得到$\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n = a_0+a_1t+...+a_n t^n+...$

收敛半径 & 收敛域

1. 若幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$在$x=x_0$点收敛(发散)，则对于适合不等式$|x|<|x_0|$(|x|>|x_0|) 的一切x，都有幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$在x点绝对收敛(发散)，
2. 若$lim_{x \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \rho$，其中$a_n a_{n+1}$是幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$中$x^n x^{n+1}$项的系数，且$a_n \neq 0$，则
   • 当$\rho$是非零正数时，收敛半径$R=\frac{1}{\rho}$
   • 当$\rho=0$时，收敛半径$R=\infty$
   • 当$\rho=\infty$时，收敛半径$R=0$

例：求$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$的收敛半径、收敛区间、收敛域

• 先算$\rho = |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(-1)^n}{n+1}}{\frac{(-1)^{n-1}}{n}} =1$
• 那么收敛半径为$R=\frac{1}{\rho} = 1$
• 收敛区间为$(-1, 1)$
• $x=1$原级数为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$，为交错调和级数，收敛
• $x=-1$原级数为$-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，为调和级数取负，发散
• 那么收敛域为$(-1, 1]$

性质

1. 设幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$收敛半径为$R(0<R<\infty)$，则其和函数$s(x)$在$(-R, R)$ 内连续，如果他在$x=R$或者$-R$处收敛，则和函数$s(x)$在$(-R, R]$或$[-R, R)$内连续
2. 设幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$收敛半径为$R(0<R<\infty)$，则其和函数$s(x)$在$(-R, R)$内是可积的，对一切的x属于$( -R, R)$有逐项积分公式
   • $\int_0^s s(t)dt = \int_0^x (\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n)dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x a_n t^n dt = \sum_ {n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$
   • 且逐项积分后所得的幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$与原幂级函数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$有相同的收敛半径R
3. 同2，积分改为求导
   • $s'(x) = (\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n)' = \sum_{n=0}^{\infty}(a_n x^n)' = \sum_{n=0}^{\infty} na_n x^{n-1}$

函数幂级数的展开式

傅里叶级数

三角函数和三角函数系的正交性

将形式和$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos nx + b_n sin nx)$的函数项级数为三角级数， $\left\{ 1, \cos nx, \sin nx \right\}_{n=1}^{\infty}$为三角函数系

• $\int_{-\pi}^{\pi} 1^2 dx = 2\pi$
• $\int_{-\pi}^{\pi} cos^2 nx dx= \pi (n=1,2,3...)$
• $\int_{-\pi}^{\pi} sin^2 nx dx= \pi (n=1,2,3...)$
• $\int_{-\pi}^{\pi} 1 * cos nx dx= 0 (n=1,2,3...)$
• $\int_{-\pi}^{\pi} 1 * sin nx dx= 0 (n=1,2,3...)$
• $\int_{-\pi}^{\pi} cos nx * cos mx dx= 0 (n,m=1,2,3...)$
• $\int_{-\pi}^{\pi} cos nx * cos mx dx= 0 (n,m = 1,2,3..., n \neq m)$
• $\int_{-\pi}^{\pi} sin nx * sin mx dx= 0 (n,m = 1,2,3..., n \neq m)$

函数展开成傅里叶级数

设$f(x)$是以$2\pi$为周期的周期函数，且能展开为三角级数，即：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n cos nx + b_n sin nx)$$

• $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$
• $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) cos nx dx(n=1,2,3...)$
• $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) sin nx dx(n=1,2,3...)$

例：已知$f(x)$是一个周期为$2\pi$的周期函数，它在$[-\pi, \pi]$上的表达式为$f(x) = \begin{cases} x, & -\pi \leq x < 0 \\ 0, & 0 \leq x < \pi \end{cases}$。求$f(x)$的傅里叶级数展开式

• $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = -\frac{\pi}{2}$
• $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) cos nx dx = \frac{1}{\pi}*\frac{1-(-1)^n}{n^2}$
• $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) sin nx dx= - \frac{(-1)^n}{n}$
• 代入公式：$f(x) = -\frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1-(-1)^n}{\pi n^2} cos nx - \frac{(-1)^n}{n} sin nx)$