02197 概率论和数理统计（二）

前置的计算公式

排列组合

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

随机事件与概率

随机事件

• 随机现象 & 确定性现象
• 随机实验
  • 可以在相同的条件下重复地进行
  • 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
  • 进行一次试验之前不能确定哪一个结果
• 样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S
• 样本点：样本空间的元素，即试验E的每一个结果

例：投掷一枚骰子，观察出现的点数的试验，若A ={6},B ={2,4},C={1,3,5}。问事件A，B，C能否构成一个互不相容的完备事件组

• $A \cap B = \varnothing$、$A \cap C = \varnothing$、$B \cap C = \varnothing$
• $A \cup B \cup C = S$
• 据定义，事件A，B,C能构成一个互不相容的完备事件组

概率

• 频率
  • 定义在相同条件下，进行了n次试验，在n次试验中，事件A发生的次数n称为事件A发生的频数
  • 比值$\frac{n_A}{n}$称为事件A发生的频率，记作$f_n(A)$。$f_n(A)=\frac{n_A}{n}$
• 古典概型
  • 样本空间S只包含有限个样本点
  • 每个样本点（基本事件）出现的可能性相同

例1：从{1,2,3,4,5中随机地取3个数字，求个数字中最大的是4的概率$p_1$，数字中没有3的概率$p_2$

• 基本事件总数：$C_5^3 = \frac{5!}{3!*(5-3)!}=\frac{5!}{3!*2!}=\frac{5*4*3*2}{3*2*2}=10$
• $A_1$所含的基本事件数（取4，再从123中取2个）即$C_3^2=3$，故$p_1=\frac{3}{10}$
• $A_2$所含的基本事件数（从1245中取3个）即$C_4^3=4$，故$p_2=\frac{4}{10}$

例2：设有N件产品，其中有D件次品，现在从中随机取m件，问：其中恰有k件次品的概率是多少？

• 解：记A表示，“所取n件产品中恰有k件次品
• 则基本事件总数$C_N^n$
• A所含基本事件数=$C_D^k C_{N-D}^{n-k}$（k件次品随机取自D件次品，其余来自正品）

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

条件概率

条件概率和乘法事件

例：设袋中有10个考签，其中4个难签按甲、乙、丙先后顺序抽取，求甲乙丙都抽到难签的概率

• $P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$、$P(B|A)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$、$P(C|AB)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
• $P(ABC)=P(A)*P(B|A)*P(C|AB)=\frac{2}{5}*\frac{1}{3}*\frac{1}{4}=\frac{1}{30}$

全概率公式

$$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+P(A|B_3)P(B_3)$$

贝叶斯公式

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B)+P(\overline{B})|P(A|\overline{B})}$$

例：设系统只传输0和1，系统的传真率都是系统以2:1的比率发出0和1。现收到的信号是p，问：原发信号是1的概率是多少？

• 设B表示发出的信号是1，A表示收到的信号是1
• $P(B)=\frac{1}{3}$、$P(\overline{B})=\frac{2}{3}$、$P(A|B)=p$、$P(A|\overline{B})=1-p$
• 代入公式$P(B|A)=$......=$\frac{p}{2-p}$

例：一批随意混放的零件是由1、2、3号机床加工的，它们加工的零件的合格率依次分别是90%,92%和94%。它们加工的零件的数量比例为1: 2:1。求这批零件的合格率

• 设$B_1$、$B_2$、$B_3$，分别表示所取零件是1号、2号、3号机床加工的，又设A表示所取产品为合格品，则依题意
• $P(B_1)=\frac{1}{4}$、$P(B_2)=\frac{2}{4}$、$P(B_3)=\frac{1}{4}$
• $P(A|B_1)=\frac{90}{100}$、$P(A|B_2)=\frac{92}{100}$、$P(A|B_3)=\frac{94}{100}$
• 根据全概率公式得：$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+P(A|B_3)P(B_3)=0.92$
• 已知从中随机取子零件是不合格品，求此零件是1号机床加工的概率
• $P(B_1|\overline{A})=\frac{P(\overline{A}B_1)}{P(\overline{A})}=\frac{P(B_1)P(\overline{A}|B_1)}{1-P(A)}$
• 逆概公式：$P\overline{A}|B_1)=1-P(A|B_1)$
• $P(B_1|\overline{A})=\frac{\frac{1}{4}*(1-\frac{90}{100})}{1-\frac{92}{100}}=\frac{5}{16}$

事件的独立性

• 定义：若$P(AB) = P(A)P(B)$,则称事件A和B相互独立
• 结论：若事件A和B相互独立，则A与$\overline{B}$，$\overline{A}$与B，$\overline{A}$与$\overline{B}$也相互独立

抽签实验

例：甲、乙、丙三部机床独 立工作，由一个工人照管。某段时间内他们不需工人照管的概率分别为0.9,0.85,0.8。求这段时间内有机床需要工人照管的概率

• 解： 设A、B、C分别表示机床甲、乙、丙需要工人照管，依题意，A、B、C相互独立。则$P(A)=0.1$、$P(B)=0.15$、$P(C)=0.2$
• $P(A \cup B \cup C)=1-P(\overline{A \cup B \cup C})=1-P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})=1-P(\overline{A})P( \overline{B})P(\overline{C})=1-0.9*0.85*0.8=0.388$

n重伯努利实验

随机变量及其概率分布

多维随机变量及其概率分布

随机变量的数字特征

大数定律及中心极限定理

样本与统计量

参数估计

假设检验